वास्तविक संख्याओं का वर्गीकरण: प्रकार, गुणधर्म और स्पष्ट उदाहरण

L वास्तविक संख्याये गठित करना सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला संख्या सेट गणित में और रोजमर्रा की जिंदगी में। इनमें शामिल हैं: परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ और इनमें गिनती, माप या भुगतान के लिए उपयोग की जाने वाली संख्याओं से लेकर कैलकुलस या भौतिकी जैसी उन्नत अवधारणाओं में दिखाई देने वाली संख्याएँ शामिल हैं। कोई भी संख्या जिसे एक सतत संख्या रेखाचाहे वह पूर्ण संख्या हो, भिन्नात्मक हो या अनंत दशमलव वाली हो, वास्तविक संख्याओं का हिस्सा है।

यह समूह ऐतिहासिक रूप से इस आवश्यकता से उत्पन्न हुआ था कि सटीक रूप से वर्णन करें ऐसी मात्राएँ जिन्हें उस समय ज्ञात संख्याओं से व्यक्त नहीं किया जा सकता था। "बहुत छोटा" या "लगभग शून्य" जैसे अस्पष्ट भाव गणितीय विश्लेषण के सटीक विकास के लिए अपर्याप्त साबित हुए, जिससे सीमा और वास्तविक संख्या की अवधारणाओं का औपचारिकरण हुआ। कई इतिहासकार इस अवधारणा के परिष्करण और औपचारिकरण की प्रक्रियाओं को 100 से 100 वर्ष की आयु के बीच रखते हैं। 15वीं और 17वीं शताब्दीहालांकि आधुनिक और सटीक परिभाषा बाद में पुष्ट हुई।

हालाँकि मिस्र जैसी प्राचीन सभ्यताओं ने पहले से ही इसका उपयोग किया था फ़्रेकिओन्ससंख्या की अवधारणा का अध्ययन अधिक दार्शनिक ढंग से यूनानियों ने किया था। पाइथागोरस के अनुयायी मानते थे कि "सब कुछ संख्या है," और जब उन्होंने कुछ लंबाई (जैसे वर्ग का विकर्ण) को व्यक्त करने का प्रयास किया, तो उन्होंने पाया कि सभी राशियों को पूर्णांकों के भिन्न के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।इसी से अपरिमेय संख्याओं की उत्पत्ति होती है, जो बाद में वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को पूरा करती हैं।

वास्तविक संख्याएँ क्या होती हैं और उन्हें कैसे दर्शाया जाता है?

वास्तविक संख्याओं को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है: वास्तविक संख्या रेखा पर किसी बिंदु से संबंधित सभी संख्याएँयह रेखा बाईं ओर (ऋणात्मक मान) और दाईं ओर (धनात्मक मान) असीमित रूप से फैली हुई है, जिसमें शून्य, भिन्न, सीमित दशमलव और अनंत आवर्ती और अनंत गैर-आवर्ती दशमलव शामिल हैं।

इस सेट को आमतौर पर अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है R या प्रतीक है ℝऔपचारिक रूप से, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को दो मुख्य उपसमुच्चयों के संघ के रूप में वर्णित किया जा सकता है: परिमेय संख्याएँ (Q) और अपरिमेय संख्याएँ (I)। मेरा मतलब है, ℝ = Q ∪ I.

वास्तविक संख्याओं के उदाहरण इस प्रकार हैं: 5, 0, −9, 3/4, −7/2, 3,45, 0,333… (1/3), √2, √10, π, ईअन्य अनेकों के बीच। इन सभी को एक निश्चित बिंदु की सहायता से वास्तविक संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है।

इसके अलावा, वास्तविक संख्याएँ एक हैं जटिल संख्याओं का उपसमुच्चयजटिल संख्याओं को a + 0i के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं और 1i काल्पनिक इकाई (–1 का वर्गमूल) है। जब b = 0 होता है, तो जटिल संख्या a + 0i एक वास्तविक संख्या के बराबर होती है, इसलिए प्रत्येक वास्तविक संख्या को शून्य काल्पनिक भाग वाली जटिल संख्या के रूप में देखा जा सकता है।

उनके प्रकार के अनुसार वास्तविक संख्याओं का वर्गीकरण

वास्तविक संख्याओं का वर्गीकरण आमतौर पर कई अंतर्निर्मित उपसमूहों में व्यवस्थित किया जाता है। सबसे आम हैं: प्राकृतिक संख्याएं, पूरे, तर्कसंगत e तर्कहीनवृहद पैमाने पर, ℝ के भीतर हमें दो बड़े समूह मिलते हैं: तर्कसंगत e तर्कहीनऔर परिमेय संख्याओं के भीतर प्राकृतिक संख्याएँ, पूर्णांक संख्याएँ और भिन्नात्मक संख्याएँ होती हैं।

1. परिमेय संख्या

यह कहा जाता है भिन्नात्मक संख्याएं उन सभी के लिए जिनका प्रतिनिधित्व किया जा सकता है दो पूर्णांकों का भागफलयानी, p/q एक भिन्न के रूप में, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0 है। इस समुच्चय को अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है। Qपरिमेय संख्याओं में शामिल हैं धनात्मक संख्याएँ, ऋणात्मक संख्याएँ और शून्यइसलिए, वे परिमाणों की एक विस्तृत विविधता को कवर करते हैं।

एक परिमेय संख्या को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है, लेकिन यह किसी अन्य रूप में भी दिखाई दे सकती है। सटीक दशमलव (उदाहरण के लिए 3,5), शुद्ध आवर्ती दशमलव (0,7777…) या मिश्रित आवर्ती दशमलव (2,58333…). इनमें से किसी भी स्थिति को पूर्णांकों के भिन्न के रूप में निरूपित किया जा सकता है।

परिमेय संख्याएँ दोनों को समाहित करती हैं पूरे जैसा आंशिकइसलिए, कोई भी पूर्णांक (−3, 0, 5…) भी परिमेय है, क्योंकि इसे p/1 के रूप में लिखा जा सकता है। इसका अर्थ यह है कि ℤ, Q का एक उपसमुच्चय है।.

परिमेय संख्याएँ हमें संख्याओं के समुच्चय से बाहर निकले बिना संक्रियाएँ करने की अनुमति देती हैं। जोड़, घटाव, गुणा और भाग (शून्य से भाग देने को छोड़कर)। इसलिए, Q को कहा जाता है बंद इन कार्यों के लिए।

ए) इंटेगर

L पूर्णांक संख्याएँ वे समूह हैं जो इनके द्वारा निर्मित होते हैं। प्राकृतिक संख्याएं, इसके नकारात्मक विपरीत और शून्यइन्हें अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है Z और इनमें …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … जैसे मान शामिल हैं।

संख्या रेखा पर, धनात्मक पूर्णांक निम्न बिंदुओं पर दिखाई देते हैं। शून्य के दाईं ओरशून्य केन्द्र बिन्दु और ऋणात्मक पूर्णांकों को रखा जाता है छोड़ दियाइस व्यवस्था से उनके आकार की तुलना करना आसान हो जाता है: जितना अधिक दाईं ओर, संख्या जितनी अधिक होगी.

उन्हें बुलाया जाता है प्राकृतिक संख्याएं जिसके लिए हम उपयोग करते हैं तत्वों की गणना करें या क्रम दर्शाते हैं (1, 2, 3, …)। ये धनात्मक पूर्णांक होते हैं और इन्हें आमतौर पर अक्षर N से दर्शाया जाता है।
El शून्य का प्रतिनिधित्व करता है a शून्य मानअकेले शून्य का कोई मूल्य नहीं बढ़ता, लेकिन किसी संख्या में शून्य की स्थिति से उसका मूल्य पूरी तरह बदल जाता है। किसी अंक के दाईं ओर शून्य होने से उसका मूल्य दस गुना बढ़ जाता है (2, 20 हो जाता है), जबकि बाईं ओर शून्य होने से संख्या में कोई परिवर्तन नहीं होता (02, 2 के बराबर हो जाता है)।
L नकारात्मक पूर्णांक वे प्राकृतिक परिस्थितियों के विपरीत स्थितियों का प्रतिनिधित्व करते हैं, जैसे कि देनदारियों, उप-शून्य तापमान o संदर्भ स्तर से नीचे के स्तरइन्हें नाम देने के लिए, संख्या से पहले "माइनस" शब्द लगाया जाता है: "माइनस चार" को −4 लिखा जाता है।

पूर्णांक इसके अंतर्गत बंद होते हैं जोड़, घटाव और गुणादो पूर्णांकों के बीच की संक्रिया का परिणाम हमेशा एक पूर्णांक ही होता है। हालांकि, दो पूर्णांकों के भाग से ऐसी संख्या प्राप्त हो सकती है जो पूर्णांक न हो (उदाहरण के लिए, 3/4), इसलिए वे भाग के अंतर्गत संवरित नहीं होते हैं।

ख) आंशिक

परिमेय संख्याओं में निम्नलिखित भी शामिल हैं: भिन्नात्मक संख्याएँजो इसके लिए उत्पन्न हुआ था वितरण संबंधी समस्याओं का समाधान करें जब प्राकृतिक संख्याओं के विभाजन से पूर्णांक परिणाम प्राप्त नहीं हुआ।

एक भिन्नात्मक संख्या एक ऐसा व्यंजक है जो इंगित करता है कि एक मात्रा को दूसरी मात्रा से भाग देना.इसमें एक शामिल है मीटर (विभाजित की जा रही राशि) और एक भाजक (इसे कितने भागों में विभाजित किया गया है), जो एक क्षैतिज या विकर्ण पट्टी द्वारा अलग किए गए हैं।

हालांकि प्रत्येक पूर्णांक को 1 के हर वाले भिन्न के रूप में देखा जा सकता है, इस खंड में विशेष अंतर किया गया है उचित और अनुचित भिन्न:

लास उचित भिन्नों ये वे हैं जिनमें अंश है कम हर से अधिक। वे मात्राओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। एक से छोटाउदाहरण के लिए 3/5.
लास अनुचित भिन्न अंश होना से अधिक या उसके बराबर हर से अधिक, जो मात्रा को दर्शाता है एक से अधिक या उसके बराबरजैसे कि 7/4 या 5/5.

इसके अलावा, कई परिमेय संख्याओं को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है। सटीक या आवर्ती दशमलवइस प्रकार, 0,25 जैसी संख्या 1/4 (सटीक दशमलव) के बराबर है, जबकि 0,333… 1/3 (शुद्ध आवधिक दशमलव) के बराबर है।

2. अपरिमेय संख्या

L अपरिमेय संख्या वे हैं कि इन्हें दो पूर्णांकों के भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।इसका दशमलव निरूपण हमेशा होता है अनंत और अनियमितदशमलव संख्याएँ एक निश्चित पैटर्न में बिना दोहराए लगातार आती रहती हैं।

इसके उत्कृष्ट उदाहरण हैं संख्या π (परिधि की लंबाई और उसके व्यास के बीच का संबंध), नंबर ई (प्राकृतिक लघुगणक का आधार), स्वर्ण अनुपात φ या फिर उन अभाज्य संख्याओं के मूल जो पूर्ण वर्ग नहीं हैं, जैसे √2, √3, √5, √7, आदि।

ऐतिहासिक रूप से, अपरिमेय संख्याओं का उद्भव तब हुआ जब पाइथागोरस के एक शिष्य ने 1 भुजा वाले वर्ग के विकर्ण को भिन्न के रूप में व्यक्त करने का प्रयास किया, और पाया कि ऐसे कोई दो पूर्णांक p और q मौजूद नहीं थे जिनके लिए p/q = √2 हो।पाइथागोरस के अनुयायी संप्रदाय के प्रारंभिक प्रतिरोध के बावजूद, इस खोज ने यह दिखाया कि परिमेय संख्याओं का समूह सभी ज्यामितीय परिमाणों का वर्णन करने के लिए पर्याप्त नहीं था।

अतार्किक प्राणियों को इस प्रकार देखा जा सकता है वास्तविक संख्याओं के भीतर परिमेय संख्याओं का पूरकयानी, यदि हम परिमेय संख्याओं के समुच्चय को Q और वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को ℝ कहें, तो अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय को इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है: ℝ − Q: वे सभी वास्तविक संख्याएँ जो परिमेय संख्याएँ नहीं हैं।

इसके अतिरिक्त, अपरिमेय संख्याओं के दो महत्वपूर्ण प्रकारों को अलग-अलग पहचाना जाता है: बीजगणितीय y उत्कृष्ट.

L बीजीय संख्याएँ वे हैं जो समाधान हैं कुछ बीजीय समीकरण पूर्णांक गुणांकों के साथ। उदाहरण के लिए, √2 अपरिमेय और बीजगणितीय है, क्योंकि यह x² − 2 = 0 का एक हल है।
L उत्कृष्ट संख्याएँ इन्हें पूर्णांक गुणांकों वाले किसी भी बीजीय समीकरण के हल के रूप में प्राप्त नहीं किया जा सकता है। इन्हें सीमित संख्या में मूलों द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है। इसके दशमलव किसी भी पहचानने योग्य पैटर्न का पालन नहीं करते हैं।इनमें π और e शामिल हैं।

वास्तविक संख्याओं के मूलभूत गुण

वास्तविक संख्याओं का समुच्चय हमें संक्रियाएँ करने की अनुमति देता है। जोड़ और गुणा गणना और गणितीय तर्क को सुगम बनाने वाले गुणों की एक श्रृंखला को पूरा करना। इनमें से सबसे महत्वपूर्ण हैं: ताला, क्रमविनिमयता, संबद्धता, उदासीन तत्वों का अस्तित्व और व्युत्क्रमों का अस्तित्व.

सेराडूरा

की संपत्ति ताला यह दर्शाता है कि दो वास्तविक संख्याओं का योग या गुणनफल हमेशा एक अन्य संख्या के बराबर होता है। वास्तविक संख्यायदि a और b, ℝ के अंतर्गत आते हैं, तो a + bya·b भी ℝ के अंतर्गत आते हैं। इससे हमें समुच्चय से बाहर निकले बिना क्रिया करने की सुविधा मिलती है, जो बीजगणित और विश्लेषण के विकास के लिए आवश्यक है।

क्रमचयी गुणधर्म

La क्रमचयी गुणधर्म इसमें दो वास्तविक संख्याओं को जोड़ने या गुणा करने का परिणाम बताया गया है। यह क्रम पर निर्भर नहीं करता है जहां संक्रिया की जाती है। अर्थात्, सभी वास्तविक संख्याओं a और b के लिए a + b = b + aya·b = b·a होता है। यह गुणधर्म गणनाओं और व्यंजकों को लिखने को अत्यंत सरल बना देता है।

सहयोगी स्वामित्व

La साहचर्य गुण यह दर्शाता है कि, जोड़ते या गुणा करते समय तीन या दो से अधिक वास्तविक संख्याएँइन्हें समूहित करने का तरीका परिणाम को प्रभावित नहीं करता। प्रतीकों में: (a + b) + c = a + (b + c) और (a·b)·c = a·(b·c)। इसके कारण, लंबी संक्रियाओं को पुनर्गठित करके उन्हें हल करना आसान बनाया जा सकता है।

तटस्थ तत्व

वास्तविक संख्याओं में दो हैं तटस्थ तत्व मौलिक:

El शून्य है तटस्थ योजकक्योंकि इसे किसी भी वास्तविक संख्या में जोड़ने से उसका मान नहीं बदलता: a + 0 = a.
El संयुक्त राष्ट्र संघ है गुणात्मक पहचानक्योंकि इसे किसी भी वास्तविक संख्या से गुणा करने पर वही संख्या प्राप्त होती है: a·1 = a.

योगात्मक और गुणात्मक प्रतिलोम

प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए एक मौजूद है योज्य व्युत्क्रम और, शून्य को छोड़कर, एक गुणात्मक व्युत्क्रम:

El योज्य व्युत्क्रम किसी संख्या a का योज्य तत्समक −a होता है, क्योंकि जब उन्हें आपस में जोड़ा जाता है, तो योज्य तत्समक प्राप्त होता है: a + (−a) = 0.
El गुणात्मक व्युत्क्रम o पारस्परिक किसी संख्या a ≠ 0 का 1/a होता है, क्योंकि a·(1/a) = 1.

संख्या रेखा पर और रोजमर्रा की जिंदगी में वास्तविक संख्याएँ

प्रत्येक वास्तविक संख्या को एक द्वारा दर्शाया जा सकता है संख्या रेखा पर बिंदुउस रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु एक अद्वितीय वास्तविक संख्या के अनुरूप होता है। यह एक-से-एक पत्राचार हमें जोड़ (दाईं या बाईं ओर खिसकाना), घटाव, असमानताएँ और दूरियाँ जैसी संक्रियाओं की कल्पना करने की अनुमति देता है।

वास्तविक संख्या रेखा पर, संख्याओं का क्रम इसका निर्धारण इसकी स्थिति से होता है: कोई बिंदु जितना अधिक दाईं ओर होता है, संख्या जितनी अधिक होगी संबंधित; जितना अधिक बाईं ओर, यह जितना छोटा होगाकोई "अंतिम" धनात्मक या ऋणात्मक वास्तविक संख्या नहीं है, क्योंकि समुच्चय ℝ में शामिल है दोनों दिशाओं में अनंत तत्व.

रोजमर्रा की जिंदगी में, वास्तविक संख्याओं का लगातार उपयोग होता है: लंबाई मापें (मीटर, सेंटीमीटर) एक्सप्रेस तापमान (धनात्मक और ऋणात्मक अंश), समय की गणना करें, पैसे का प्रबंधन (शेष राशि, ऋण, ब्याज) अनुसूचियों की तुलना करें o डेटा का विश्लेषण सांख्यिकी और अर्थशास्त्र में।

वैज्ञानिक और तकनीकी क्षेत्र में, वास्तविक संख्याएँ आधार होती हैं। विभेदक और समाकलन कलन, शास्त्रीय और आधुनिक भौतिकी, इंजीनियरिंग, कंप्यूटर्स और कई अन्य विषयों में भी। गति, त्वरण, ऊर्जा या तीव्रता जैसी मात्राओं को वास्तविक संख्याओं में व्यक्त किया जाता है, और उनके सही उपयोग से जटिल घटनाओं का मॉडल तैयार किया जा सकता है।

वास्तविक संख्याओं के वर्गीकरण, उनके उपसमुच्चयों और गुणों को समझना न केवल गणित के अध्ययन को सुगम बनाता है, बल्कि इससे गणित का अध्ययन भी आसान हो जाता है। यह तार्किक और अमूर्त तर्क क्षमता को मजबूत करता है।यह सोच को व्यवस्थित करने में मदद करता है और बहुत अलग-अलग परिस्थितियों में समस्याओं को हल करने की क्षमता में सुधार करता है।